A Dobra espacial na Relatividade geral (artigo)

A velocidade de dobra: viagem hiper-rápida dentro da relatividade geral

(The warp drive: hyper-fast travel within general relativity)

De Miguel Alcubierre*
Department of Physics and Astronomy, University of Wales, College of Cardiff, P.O. Box 913, Cardiff CF1 3YB, UK.

PACS numbers : 0420, 0490.

Resumo

Mostra-se como, no âmbito da relatividade geral e sem a introdução de buracos de minhoca, é possível modificar um espaço-tempo de uma forma que permite que uma nave espacial a viajar com uma velocidade arbitrariamente grande. Por uma expansão puramente local do espaço-tempo por trás da nave espacial e uma contração oposta em frente a ela, o movimento mais rápido do que a velocidade da luz, como visto por observadores de fora da região do distúrbio é possível. A distorção resultante é uma reminiscência da “warp drive” da ficção cientifica. Entretanto, assim como acontece com os buracos de minhoca, será necessária uma matéria exótica, a fim de gerar uma distorção do espaço-tempo como o que discutiremos aqui.

[Published in: Class. Quantum Grav. 11-5, L73-L77 (1994)]

* Present address: Max Plank Institut fur Gravitationsphysik, Albert Einstein Institut, Schlaatzweg 1, D-14473 Potsdam, Germany.

Quando estudamos a relatividade especial, aprendemos que nada pode viajar mais rápido que a velocidade da luz. Este fato ainda é verdade na relatividade geral, embora, neste caso, é preciso ser um pouco mais preciso: na relatividade geral, nada pode viajar mais rápido do que localmente a velocidade da luz.

Desde a nossa experiência cotidiana, que é baseada em um espaço euclidiano, é natural acreditar que, se nada pode viajar mais rápido do que a luz localmente, então, dado dois lugares que são separadas por uma distância espacial D adequado, é impossível fazer uma ida e volta entre eles em um tempo inferior a 2D/c (em que c é a velocidade da luz), como medido por um observador que permanece sempre no local de saída. É claro que, a partir de nosso conhecimento da especial relatividade, sabemos que o tempo medido pela pessoa que fez a viagem de volta pode ser arbitrariamente pequeno se dele (ou dela) a velocidade se aproxima à da luz. No entanto, o fato de que, no âmbito da relatividade geral e sem a necessidade de introduzir topologias não triviais (wormholes – buracos de minhoca), pode-se realmente fazer uma viagem tão redonda em um curto espaço de tempo arbitrariamente, medida por um observador que permaneceu em repouso, provavelmente, virá como uma surpresa para muitas pessoas.

Aqui eu gostaria de discutir um exemplo simples que mostra como isso pode ser feito. A ideia básica pode ser mais facilmente compreendido se pensarmos por um momento na fase inflacionária do início do Universo, e considerar a velocidade relativa de separação de dois observadores concomitantes. É fácil de convencer-se que, se define esta velocidade relativa como a taxa de variação da distância espacial adequada ao longo do tempo apropriado, vamos obter um valor que é muito maior do que a velocidade da luz. Isso não quer dizer que os nossos observadores estarão viajando mais rápido do que a luz: eles sempre se movem dentro de seus cones de luz locais. A enorme velocidade de separação vem da expansão do próprio espaço-tempo. Esta velocidade superluminal é muitas vezes uma fonte de confusão. É também um bom exemplo de como uma intuição baseada na relatividade especial podem enganar quando se trata de espaços-tempos dinâmicos [¹This superluminal speed is very often a source of confusion. It is also a very good example of how an intuition based on special relativity can be deceiving when one deals with dynamical spacetimes.]

O exemplo anterior mostra como se pode usar uma expansão do espaço-tempo para afastar-se de algum objeto a uma velocidade arbitrariamente grande. Da mesma forma, pode-se usar uma contração do espaço-tempo para aproximar-se de um objeto a qualquer velocidade. Esta é a base do modelo para a viagem espacial super rápida que desejo apresentar aqui: criar uma distorção do espaço-tempo local, que irá produzir uma expansão por trás da nave espacial e uma contração oposta à sua frente. Desta forma, a nave será empurrado para longe da Terra e puxada na direção a uma estrela distante pelo próprio espaço-tempo. Pode-se então inverter o processo de voltar à Terra, tendo arbitrariamente um pequeno tempo para completar a viagem de volta.

Agora vou introduzir uma métrica simples que tem precisamente as características acima mencionadas. Eu vou fazer isso usando a linguagem do formalismo 3+1 da relatividade geral, [¹,²] porque vai permitir uma interpretação clara dos resultados. Neste formalismo, o espaço-tempo é descrito por uma folheação de hipersuperfıcies do tipo espacial da coordenada de tempo na constante t. A geometria do espaço-tempo é dado em termos das seguintes quantidades: a trimetria ϒij das hipersuperfıcies, o lapso da função α que dá o intervalo que propõe o tempo entre o mais próximo com que são medidas pelos observadores ‘Eurelianos’ (aqueles cujas quatro velocidade é normal para os hipersuperfıcies), e o vector de deslocamento βi que relaciona os sistemas de coordenadas espaciais em diferentes hipersuperfıcies. Usando essas quantidades, a métrica do espaço-tempo pode ser escrita como: [² In the following greek indices will take the values (0,1,2,3) and latin indices the values (1,2,3).]

Figura1

Note-se que enquanto a métrica ϒij é positiva e definida para todos os valores de t (como deveria, a fim de que ele seja uma métrica espacial), o espaço-tempo é garantido para ser globalmente hiperbólico. Qualquer espaço-tempo que pode ser descrito na linguagem formal do 3+1 portanto, não terá curvas causais fechadas.

Deixe-nos agora pressupor que os nossos movimentos na nave espacial ao longo do eixo x em um sistema de coordenadas cartesianas. Queremos encontrar uma métrica que irá “empurrar” a nave espacial ao longo de uma trajetória descrita por uma função arbitrária de tempo xs (t). A metrica que nos dá esta propriedade é dada por (G=c=1):

Figura2

Onde:

Figura3

E onde  f  é a função

FIG4

Com R > 0  e  σ > 0  parâmetros arbitrários. Note que para um longo σ a função f (r) aproxima-se muito rapidamente de uma função “cartola”

FIG5

Com as definições acima, a métrica (1) pode ser reescrita como:

FIG6

É fácil de compreender a geometria do espaço-tempo a partir das expressões anteriores. Em primeiro lugar, a partir da equação (5) podemos ver que a tri-geometria das hipersuperfıcies é sempre plana. Além disso, o fato do lapso ser dado por α = 1 implica que as curvas temporais normais para estes hipersuperfıcies são campos gravitacionais, i.é, os observadores Eulerianos estão em queda livre. O espaço-tempo, no entanto, não está, devido à presença de uma mudança não uniforme. No entanto, uma vez que o vetor de mudança desaparece para  rs >> R vemos que em qualquer momento t do espaço-tempo estará essencialmente em toda parte, exceto dentro de uma região com um raio de ordem R centralizado no ponto (xs(t), 0, 0) .

Desde que a tri-geometria dos hipersuperfıcies seja plana, as informações sobre a curvatura do espaço-tempo será contida no tensor da curvatura extrínseca Kij . Esse tensor descreve como as hipersuperfıcies tridimensionais estão embutidas no espaço-tempo de quatro dimensões e é definido como:

FIG7Onde Di  indica a diferenciação covariante em relação a tri-metria ϒij . Da forma de  α e ϒij , não é difícil de ver que esta expressão reduz para

FIG8

A expressão θ de volume dos elementos associados com os observadores Eurelianos é dada em termos de Kij como

FIG9

Desta expressão não é diferente para mostrar que:

FIG 10

A Figura (1) mostra o gráfico de θ  como uma função de x e ρ = (y2 + z2 )¹⁄ , no caso particular quando σ = 8 e R = vs = 1. O centro da perturbação corresponde à posição da espaçonave xs (t). Vemos claramente como os elementos de volume estão se expandindo por trás da nave espacial, e contraindo na frente dela.

Para provar que a trajetória da nave espacial é de fato uma curva tipo tempo, independentemente do valor de vs (t) nós substituímos x = xs (t) na metrica [8]. Em seguida, é fácil ver que para a trajetória da nave espacial teremos:

FIG 11

Isto implica não apenas que a nave se move em uma curva tipo tempo, mas também que seu tempo é igual a coordenada tempo. Uma vez que a coordenada tempo também é igual ao tempo apropriado de observadores distantes da região plana, podemos concluir que a nave sofre nenhuma dilatação de tempo, uma vez que se move. Também é fácil de provar que a nave se move sobre um campo gravitacional. Isto significa que mesmo que a aceleração das coordenadas podem ser uma função de tempo arbitrária, a aceleração devido ao longo do caminho espacial será sempre zero. Além disso, não é difícil de convencer-se que, quando o parâmetro é grande, as forças da maré nas imediações da nave são muito pequenos (desde que R esteja maior que o tamanho da nave). Claro, na região onde r ≅  R a força das marés podem ser de fato muito grandes.

Para ver como se pode usar essa métrica para fazer uma viagem a volta a uma estrela distante em um pequeno tempo arbitrado, vamos considerar a seguinte situação: Duas estrelas A e B estão separadas por uma distância D no plano espaço-tempo. No momento t0, uma nave espacial começa a se afastar de A em uma velocidade v < 1 usando seus motores de foguete. A nave espacial depois pára a uma distância d longe de A. Vou assumir que d é tal que:

R << d << D                                                                 (14)

 É neste ponto que uma perturbação do espaço-tempo do tipo descrito, centrada na posição da nave, primeiro aparece. Esta perturbação é tal que a nave é empurrada para longe de A com uma aceleração de coordenadas que muda rapidamente de 0 a um valor constante α. Uma vez que a espaçonave está inicialmente em repouso ( vs = 0 ), a perturbação irá desenvolver sem problemas no espaço-tempo em (ver equação [8]).

Quando a nave está a meio caminho entre A e B, a perturbação é modificada de tal maneira que a aceleração das coordenadas muda rapidamente de a para -a. Se a aceleração das coordenadas na segunda parte da viagem é organizada de tal forma a ser o oposto do que a que tivemos na primeira parte, em seguida, a nave irá eventualmente encontrar-se em repouso a uma distância d longe de B, a qual a perturbação do espaço-tempo desaparecerá (porque novamente vs = 0). A jornada é agora completada por mover-se novamente através do plano do espaço-tempo a velocidade v  [3 The two constant-velocity legs at the beginning and end of the journey are not crucial for the argument that I wish to present here. I only introduce them in order to guarantee that the two stars will remain unaffected by the disturbance of spacetime ( R << d ), and can therefore be used as unperturbed “clocks” with which to compare the proper time on board the spaceship].

Se cada uma das mudanças em aceleração é muito rápida, o total da coordenada T de tempo decorrido na viagem só de ida será essencialmente dada por:

FIG 12

Uma vez que ambas as estrelas permanecem no espaço, o tempo adequado é igual a coordenada tempo. O momento adequado medido na nave espacial, por outro lado, são os seguintes:

FIG 13

Com  ϒ = ( 1 – v2 ) . Vemos, então, que a dilatação do tempo só vem desde as fases iniciais e finais da viagem, quando a nave se move através de um espaço-tempo. Agora, se a condição se mantém [14], teremos:

FIG 14

Está claro que T pode ser feito tão pequeno quanto quisermos, aumentando o valor de α. Uma vez que a viagem de ida e volta só levará o dobro do tempo, descobrimos que podemos estar de volta a estrela A após um pequeno momento arbitrado adequado, tanto do ponto de vista da nave espacial e do ponto de vista da estrela. A nave será, então, capaz de viajar mais rápido do que a velocidade da luz. No entanto, como vimos, ela permanecerá sempre em uma trajetória tal qual o tempo, isto é, dentro do seu cone de luz local: a própria luz também está sendo empurrada pela distorção do espaço-tempo. Um mecanismo de propulsão baseado em uma distorção do espaço-tempo, implora para ser dado-lhe o nome familiar da “warp drive” da ficção científica.

A métrica que acabo de descrever tem uma desvantagem importante, porém: ela viola as três condições energéticas (fracas, dominante e forte [3]). Ambos os fracas e as condições de energia dominantes exigem a densidade de energia positiva para todos os observadores. Se se calcula o tensor de Einstein da métrica [8], e utiliza o fato de que a velocidade de quatro dos observadores Euler é dada por:

FIG 15

então pode-se mostrar que esses observadores verão uma densidade de energia dada por:

FIG 16

O fato de que esta expressão está em toda parte negativa implica que as condições de energia fracas e dominantes são violadas. De uma maneira semelhante pode-se mostrar que a condição energética forte também é violada.

Vemos, então, que, assim como acontece com os buracos de minhoca, também acontece com a matéria exótica para viajar mais rápida que a velocidade da luz. No entanto, mesmo que a pessoa acredite que a matéria exótica seja proibida classicamente, é bem sabido que a teoria quântica de campo permite a existência de regiões com densidades de energia negativas em algumas circunstâncias especiais (como, por exemplo, no efeito Casimir [4]). A necessidade de material exótico, por conseguinte, não necessariamente eliminam a possibilidade de utilização de uma distorção do espaço-tempo, como a descrita acima para as viagens hiper-rápidas interestelares. Como um comentário final, vou apenas mencionar o fato de que mesmo que o espaço-tempo descrito pela métrica [8] seja globalmente hiperbólica, e, portanto, não contém curvas causais fechadas, isso provavelmente não dificulta muito a construção de um espaço-tempo que contém tais curvas usando uma ideia similar ao apresentado aqui.

O autor gostaria de agradecer a Bernard F. Schutz e Gareth S. Jones por muitos comentários úteis.

References

[1] C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, W.H. Freeman, 1973.

[2] J.W. York, \Kinematics and Dynamics of General Relativity” in: Sources of Gravitational Radiation, ed. L.L. Smarr, pp. 83-126, Cambridge University Press, 1979.

[3] S.W. Hawking and G.F.R. Ellis, The Large Scale Structure of Spacetime, Cambridge University Press, 1973.

[4] B.S. DeWitt, in General Relativity: An Einstein Centenary Survey, edited by S.W. Hawking and W. Israel, Cambridge University Press, Cambridge, 1979.

 

Tradução:  Capitão da USS Orbiter A

Fonte:  http://iopscience.iop.org/0264-9381/11/5/001

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